魔法禁书目录

AI推翻87年数学难题？困扰数学界的雅可比猜想，可能被三行公式证伪了_我的网站

A |     悬而未决 87 年的经典数学难题——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一个只有三行公式的反例推翻了。         7 月 20 日，数学家、Anthropic 研究人员 Levent Alpöge 在社交平台 X 公布了一个三元多项式映射。它满足了雅可比猜想要求的前提条件，却违背了猜想的结论，因此构成了一个可能推翻整个猜想的反例。         更引人关注的是，Alpöge 在帖子中将这一反例归功于 Anthropic 最新发布的 AI 模型 Claude Fable 5。他还表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出这一问题，而 Fable 5 则在他们观看世界杯决赛期间持续搜索，最终找到了这一反例构造。         （来源：X）          消息发布后，数学界迅速展开核验。    夏至三庚入伏          冬至逢壬数九          传          统          DONG ZHI          冬至大如年          冬至暖·烤火到小满          人          间          小          团          圆          “冬至到，春将至。过小年，迎新春。斯坦福大学数学系助理教授 Jared Duker Lichtman 转发称这一结果“相当惊人”；MathOverflow 很快收录了相关讨论，不少研究者还利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立计算。”冬至是农历二十四节气中的一个重要节气，也是中华民族的一个传统节日。

B | 目前，最关键的两项验证：雅可比行列式是否恒为 −2，以及三个不同点是否确实映射到同一点，均已通过公开计算验证。

C | 如此有意义的节日，我们的小朋友又知道多少呢？                                        冬          至                    节          气          冬/至/大/如/年 · 人/间/小/团/圆                    冬/至/大/如/年                     冬至，是中国农历中一个非常重要的节气，这一天是北半球全年中白天最短、夜晚最长的一天。冬至这天，在我国的不同地区有不同的习俗。         如果后续没有发现新的漏洞，这将意味着：1939 年提出的雅可比猜想在三维情形下不成立，并可进一步推出其在所有三维及以上维数下均不成立；而二维情形仍然保持开放。在中国很多地区，冬至有吃饺子的习俗，俗话说：“冬至到，家家户户吃水饺”。随着冬至的到来，日照时间渐长，它告诉人们：冬至到，春将临。

D | 让我们一起来跟随各班老师了解一下冬至的由来和风俗吧。         被称为“民科坟场”的雅可比猜想          雅可比猜想由德国数学家奥特－海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于 1939 年提出，讨论的是一个看似简单、却困扰数学界近九十年的问题：什么时候，一个多项式映射一定能够"倒推"回原来的函数？          图｜海因里希·凯勒（左）（来源：Wikipedia）          理解这个猜想，可以先想象一张橡胶膜。         冬          至          大          如          年          冬至节气知多少          / DONGZHI          冬至大如年          人间小团圆                                        冬          至                    饺          香          满          园          DONG ZHI JIE QI          冬/至/大/如/年 · 人/间/小/团/圆                    冬/至/大/如/年                     为了让孩子们更好地了解中华民族传统节日的习俗，培养幼儿的动手操作能力，激发幼儿探索新知的欲望，12月20日上午，我园开展了《团圆饺宴·乐享冬至》包饺子活动。

E | 请跟随着老师的镜头，跟着我们走进“冬至”吧！          冬          至          大          如          年           包饺子可是技术活呢，瞧！小手捏一捏，小朋友们一个个有模有样的，来看看他们的表现吧！                                        DONG          ZHI           孩子们体验着包饺子的乐趣，一个接一个白花花的饺子就越变越多。好吃不过饺子，可爱不过孩子，我们的饺子包好啦！          DONG          ZHI           热腾腾的饺子出锅啦！孩子们品尝着自己动手包的，香喷喷的饺子，不断发出“这也太好吃了吧！”“我还要添！”的赞美。如果局部看，每一小块都没有被撕裂或压扁，人们很自然会问：整张膜会不会在别的地方折叠起来，让两个不同的位置重合？          数学里的情况与此类似。对于多变量多项式映射，如果它在每一个局部都满足一种“没有折叠”的条件，也就是雅可比行列式始终等于同一个非零常数。

F |          吃          饺          子                               欢乐的气氛洋溢在教室的每个角落，香味飘满了整个幼儿园。

G |          冬至大如年          人间小团圆                                        冬          至                    手          绘          冬          至          DONG ZHI JIE QI          冬/至/大/如/年 · 人/间/小/团/圆                    冬/至/大/如/年                    霜儿至，雪儿落，          不知不觉间，          已进入隆冬时节。         在这个静谧的冬日里，          我们可以进行哪些特别的艺术创作呢？                    冬          至          大          如          年          冬          至          大          如          年           孩子们眼中的世界是五彩缤纷的，用灵巧的小手为这暖暖的冬至增添活力与生趣！瞧！一幅幅创意作品是不是很生动呢！                                                            冬至大如年          人间小团圆                    冬至，被赋予浓浓的味道          承载着温馨的记忆          寄托着美好的期盼          这个冬至，是温暖的，是美味的          在这美好的冬日里          广钢幼儿园全体师幼          祝大家冬至快乐、阖家幸福！          冬          至          大          如          年          冬/至/大/如/年 · 人/间/小/团/圆                               编辑：教务办           审核：教务办          点/击/关/注/公/众/号。

H | 那么它是否一定在整体上也是一一对应的？它的逆映射又是否仍然是一个多项式？          这就是雅可比猜想。它的陈述只有短短几句话，却异常难以证明。不少数学研究者戏称它为“crank graveyard”——“民科坟场”。许多人被它吸引，最终却陷入漫长而徒劳的推导之中。         著名华人数学家张益唐，就曾把整个博士阶段投入到这个问题。1991 年，他在普渡大学完成博士论文《雅可比猜想与域扩张的次数》，导师莫宗坚是国际上研究雅可比猜想最重要的学者之一。张益唐的工作推进了这一研究方向，却并没有解决猜想本身。后来，他离开代数几何，转向解析数论，并最终因证明有界素数间隔而闻名世界；雅可比猜想，则依然留在开放问题名单中。

I |          1998 年，菲尔兹奖得主 Stephen Smale 将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。

J |          过去近 90 年里，一维情形早已证明成立，二维至今仍未解决，而三维及更高维也始终没有答案。

K | 由于这一猜想要求所有维数都成立，因此，只要在任意一个维数找到反例，整个猜想就会被推翻。         三个点，击穿一个猜想          而此次，Alpöge 公布的是一个从三维复空间到三维复空间的多项式映射：          直接计算可知，这个映射的雅可比行列式恒等于 −2。

L | 由于 −2 是一个非零常数，因此它完全满足雅可比猜想的前提条件。         然而，当把三个不同的点          分别代入这一映射时，得到的结果却都是同一个点：          这足以构成反例。

M | 原因很简单：如果多个不同的输入对应同一个输出，那么映射就不是单射。换句话说，当已知输出时，无法唯一确定原来的输入，因此它不可能拥有逆映射，更不可能拥有由多项式组成的逆映射。这与雅可比猜想的结论正面冲突。

N |          这个反例还具有极强的可核查性。许多重大数学成果往往需要专家花费数月甚至数年时间，逐页检查上百页证明；而这个结果的核心，仅涉及两项有限的代数计算：一是验证雅可比行列式恒等于非零常数，二是验证三个不同的点确实映射到了同一个点。         截至目前，这两项计算均已得到公开复核。

o | 研究者 Zihan Zhang 给出了独立的 SymPy 验证脚本，并指出，只需将其中一个输出坐标乘以 −1/2，就可以把雅可比行列式规范化为猜想中更常采用的常数 1，而这不会改变反例的本质。         如果这一反例最终成立，它不仅推翻三维情形，也意味着所有更高维情形都不再成立。因为只需在三维反例后增加若干保持不变的坐标，就可以直接构造出任意更高维的反例。

p | 不过，二维雅可比猜想仍然是一个独立的开放问题          值得补充的是，Levent Alpöge 并不是从 AI 领域半路进入数学，而是一位长期从事数论与算术几何研究的职业数学家。

q | 近年来，他才加入 Anthropic，从事人工智能研究。         他本科毕业于哈佛大学，主修数学，并获得物理学硕士学位；随后在剑桥大学完成数学高级研究课程。2020 年，他在普林斯顿大学获得数学博士学位，导师是菲尔兹奖得主 Manjul Bhargava。         图｜Levent Alpöge（来源：Quanta Magazine）          大型语言模型兴起后，Alpöge 开始转向人工智能。他曾在个人主页写道，GPT-4 让他认为人工智能是“人类创造过的最有意思的东西”，因此重新回到计算机科学领域，希望增加这场变化产生积极结果的可能性。         根据目前公开的信息，这次发现的大致过程是：Akhil 提出问题，Alpöge 将其交给 Claude Fable 5 进行探索，模型最终给出了具体的反例构造；随后，Alpöge 公开了这一构造，数学界再通过人工推导以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立验证。         这一过程与 AI 替数学家写出一份传统意义上的数学证明有所不同。对于否定一个猜想而言，并不需要解释所有可能情况，只需要找到一个满足前提、却违反结论的反例即可。这样的任务天然适合计算探索：模型可以不断尝试构造候选映射、调整参数、检查雅可比条件，再寻找是否会出现不同点映射到同一点的情况。

r |          如果这一反例最终得到确认，它带来的意义将十分重大。因为它展示了一种此前极少出现的研究模式：不是 AI 帮助数学家验证已经存在的思路，而是AI参与寻找一个人类 87 年来始终没有找到的数学对象。         从 AlphaGeometry 解决竞赛题，到 GPT、Gemini 参与证明具体命题，再到这一次可能找到推翻经典猜想的反例，大模型参与数学研究的角色正在发生变化。它开始探索的，不再只是“答案”，而是过去只有数学家才会进入的未知搜索空间。         参考链接：          1.https://x.com/leventalpoge          2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic          3.https://www.leventalpoge.com/          4.https://dataspace.princeton.edu/          5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize          运营/排版：何晨龙          注：封面由 AI 辅助生成。

Current article:http://www.zangjiwuqihuncongcherua.cyou/nxbfd9/t7v.html

Published on:04:40:59